Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Biết \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt 2 \)

a) Hạ \(AH \bot SD\) (1).

Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD\) mà \(CD \bot AD\) nên \(CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AH\) (2).

Từ (1) và (2), suy ra \(AH \bot \left( {SCD} \right)\).

Ta có \(d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH\).

Xét \(\Delta SAD\) vuông tại \(A\), có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{3}{{2{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

b) Có \(AB \bot BC\) mà \(BC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\).

Suy ra \(\widehat {SBA}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\).

Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A\), \(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{a} = \sqrt 2 \Rightarrow \widehat {SBA} \approx 54,7^\circ \).

c) Theo câu b, \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).

d) \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot a\sqrt 2 \cdot {a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;    c) Đúng;     d) Đúng.