Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy là hình vuông cạnh bằng 3, tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, \(M\) là trung điểm của \(AB\), \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAB\). Tính khoảng cách từ điểm \(G\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(CD\). Suy ra \(MH \bot CD\) (1).

Hạ \(MK \bot SH\) (3).

Vì \(\Delta SAB\) đều, \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(SM \bot AB\).

Vì \(\left. \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\SM \bot AB\\SM \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SM \bot CD\)(2).

Từ (1) và (2), suy ra \(CD \bot \left( {SMH} \right)\)\( \Rightarrow CD \bot MK\) (4).

Từ (3) và (4), suy ra \(MK \bot \left( {SCD} \right)\).

Khi đó \(d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = MK\).

Ta có \(SM = \frac{{3\sqrt 3 }}{2},MH = 3\).

Xét \(\Delta SMK\) vuông tại \(M\), ta có \(\frac{1}{{M{K^2}}} = \frac{1}{{S{M^2}}} + \frac{1}{{M{H^2}}} = \frac{4}{{27}} + \frac{1}{9} = \frac{7}{{27}} \Rightarrow MK = \frac{{3\sqrt {21} }}{7}\).

Có \(\frac{{d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{GS}}{{MS}} = \frac{2}{3}\)\( \Rightarrow d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{2}{3}d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{3\sqrt {21} }}{7} \approx 1,31\).

Trả lời: 1,31.