Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\), cạnh bằng \(4a\), góc \(\widehat {ABC} = 60^\circ \), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\sqrt 7 \). Tính tan của góc nhị diện \(\left[ {S,BD,A} \right]\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(AO \bot BD\) (1).

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BD\) (2).

Từ (1) và (2), suy ra\(BD \bot \left( {SAO} \right) \Rightarrow BD \bot SO\).

Do đó \(\left[ {S,BD,A} \right] = \widehat {SOA}\).

Xét \(\Delta ABC\) có \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC}\) \( = 16{a^2} + 16{a^2} - 2 \cdot 4a \cdot 4a \cdot \cos 60^\circ = 16{a^2}\).

Suy ra \(AC = 4a \Rightarrow AO = \frac{{AC}}{2} = 2a\).

Xét \(\Delta SAO\) vuông tại \(A\), có \(\tan \widehat {SOA} = \frac{{SA}}{{AO}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{{2a}} \approx 1,32\).

Trả lời: 1,32.