Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều, \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) cách điểm \(A\) một khoảng bằng \(2a\) và tạo với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) góc \(30^\circ \). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABC\) theo \(a\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).

Do \(\Delta ABC\) đều nên \(AI \bot BC\) mà \(BC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\) nên \(BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot SI\).

Do đó \(\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SIA} = 30^\circ \).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(SI\). Suy ra \(AH \bot SI\).

mà \(BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot AH\). Do đó \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).

Do đó \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = 2a\).

Xét \(\Delta AHI\) vuông tại \(H\) suy ra \(AI = \frac{{AH}}{{\sin 30^\circ }} = 4a\).

Xét \(\Delta SAI\) vuông tại \(A\) suy ra \(SA = AI \cdot \tan 30^\circ = \frac{{4a}}{{\sqrt 3 }}\).

Giả sử tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(x\) mà \(AI\) là đường cao suy ra \(4a = x\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow x = \frac{{8a}}{{\sqrt 3 }}\).

Diện tích tam giác đều \(ABC\) là \({S_{ABC}} = {\left( {\frac{{8a}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{16{a^2}\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABC}} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot \frac{{16{a^2}\sqrt 3 }}{3} \cdot \frac{{4a}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{64{a^3}}}{9}\).