Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) (tham khảo hình vẽ).

Góc giữa hai đường thẳng \(BA'\) và \(CD\) bằng

Từ giả thiết suy ra \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ đứng.

Gọi \(M'\) là trung điểm của \(B'C'\).

Suy ra \(MM'//BB'\) mà \(BB' \bot \left( {A'B'C'} \right)\) nên \(MM' \bot \left( {A'B'C'} \right)\).

Do đó \(A'M'\) là hình chiếu của \(A'M\) lên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\).

Do đó \(\left( {A'M,\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \left( {A'M,A'M'} \right) = \widehat {MA'M'}\).

Ta có \(\Delta A'B'C'\) đều cạnh \(a\) nên \(A'M' = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(MM' = BB' = 2a\).

Vì \(MM' \bot \left( {A'B'C'} \right)\) nên \(MM' \bot A'M'\).

Xét \(\Delta A'M'M\) vuông tại \(M'\) , có \(\tan \widehat {MA'M'} = \frac{{MM'}}{{A'M'}} = \frac{{2a}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{4}{{\sqrt 3 }} \approx 2,31\).

Trả lời: 2,31.

a) Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lăng trụ đều nên \(BD \bot AC\) và \(BD \bot AA'\). Do đó \(BD \bot \left( {ACC'A'} \right)\).

b) Ta có \(\left( {ADD'} \right) \cap \left( {ACC'A'} \right) = AA'\) mà \(AC \bot AA',AD \bot AA'\) nên

\(\left( {\left( {ADD'} \right),\left( {ACC'A'} \right)} \right) = \left( {AD,AC} \right) = \widehat {DAC} = 45^\circ \).

c) Ta có \(AC' = \sqrt {{a^2} + {a^2} + 3{a^2}} = a\sqrt 5 \); \(AB' = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}} = 2a\); \(B'C' = a\). Suy ra \(\Delta AB'C'\) vuông tại \(B'\).

Vì \(BC//B'C'\) nên \(BC//\left( {ADC'B'} \right)\).

Khi đó \(d\left( {BC,\left( {ADC'B'} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\).

Ta có \({V_{B.AB'C'}} = \frac{1}{3}d \cdot {S_{AB'C'}} = {V_{A.BB'C'}} = \frac{1}{3}AB \cdot \frac{1}{2}BB' \cdot B'C' = \frac{1}{3} \cdot a \cdot \frac{1}{2} \cdot a\sqrt 3 \cdot a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

\(d = \frac{{\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}}}{{{S_{AB'C'}}}} = \frac{{\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{1}{2} \cdot 2a \cdot a}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

d) \({V_{ABC.A'B'C'}} = BB'.{S_{ABC}} = a\sqrt 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;   c) Sai;    d) Đúng.