Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy là hình bình hành, \(G\)là trọng tâm tam giác \(SAC\). \(M\) là trung điểm của \(SD\)

a. Tìm giao điểm \(O\) của \(AC\) và \(\left( {SBD} \right)\)

b. Chứng minh rằng \(MO//\left( {SAB} \right)\)

c. \(\left( \alpha \right)\) chứa \(BM\) và song song với \(AC\), tìm giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\)

d. \(I\) trên đoạn \(AD\) sao cho \(\frac{{AI}}{{ID}} = 2\), \(J\) là trọng tâm tam giác \(ADC\).

Chứng minh rằng \(SC//\left( {GIJ} \right)\).

e. Điểm \(K\) di chuyển ở miền trong của hình bình hành \(ABCD\), kẻ \(KE\), \(KF\) lần lượt song song với \(SA,SB\) (Với \(E \in (SBC),\,F \in (SAD)\)). Tìm giá trị lớn nhất của \(\frac{{KE}}{{SA}}.\frac{{KF}}{{SB}}\).

 

a. Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(AC \cap BD = O\). Ta có

\(\begin{array}{l}O \in AC\\O \in BD \Rightarrow O \in (SBD)\end{array}\)

\( \Rightarrow \)\(O\) là giao điểm của \(AC\)và\((SBD)\)

b. \(MO\) là đường trung bình trong tam giác \(SBD\)\( \Rightarrow MO//SB\)

mà \(MO \not\subset (SAB) \Rightarrow MO//(SAB)\)

c. G là trọng tâm tam giác \(SAC\)\( \Rightarrow G\)là trọng tâm tam giác \(SBD\)

\( \Rightarrow G \in BM\)\( \Rightarrow G\)là điểm chung của \((\alpha )\) và \(\left( {SAC} \right)\)

Mà \((\alpha )//AC \Rightarrow \)giao tuyến của \((\alpha )\)và \(\left( {SAC} \right)\) là đường thẳng \(d\) qua \(G\) và song song với \(AC\)

d. Trong tam giác ABD có \(\frac{{DI}}{{IA}} = \frac{{DJ}}{{JB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow IJ//AB \Rightarrow IJ//CD\)

mà \(IJ \not\subset (SCD)\)\( \Rightarrow IJ//(SCD)\)

Trong tam giác \(BMD\) có \(\frac{{MG}}{{GB}} = \frac{{DJ}}{{JB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow JG//MD\) mà\(MG \not\subset (SCD),MD \subset (SCD) \Rightarrow MG//(SCD)\)

\(JG\) và \(IJ\) cắt nhau cùng nằm trong \(\left( {GIJ} \right)\) \( \Rightarrow \left( {JGI} \right)//(SCD)\)

\( \Rightarrow SC//(GIJ)\)

e.

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(AK \cap BC = H\),vì \(KE//SA \Rightarrow E \in (SAH)\)mà \(E \in (SBC)\), \(SH\) là giao tuyến \(\left( {SAH} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\)\( \Rightarrow E \in SH\)

Trong tam giác \(SAH\) có \(\frac{{KE}}{{AS}} = \frac{{HK}}{{HA}}\)

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(BK \cap AD = N\),chứng minh tương tự ta có \(\frac{{KF}}{{BS}} = \frac{{NK}}{{NB}}\)

Mà \(\frac{{NK}}{{NB}} = \frac{{AK}}{{AH}} \Rightarrow \frac{{KE}}{{SA}} + \frac{{KF}}{{SB}} = \frac{{AK}}{{AH}} + \frac{{KH}}{{AH}} = 1\)

\( \Rightarrow \frac{{AK}}{{AH}}.\frac{{KH}}{{AH}} \le \frac{1}{4}{\left( {\frac{{AK}}{{AH}} + \frac{{KH}}{{AH}}} \right)^2} = \frac{1}{4}\). Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{{AK}}{{AH}} = \frac{{KH}}{{AH}}\)