Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,AD\). Biết \(AB = 2a\), \(CD = 2a\sqrt 2 \) và \(MN = a\sqrt 5 .\) Số đo của góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) bằng

Chọn B

Gọi \(P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(AC,BD\). Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}MP{\rm{//}}AB\\MQ{\rm{//}}CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( {AB,CD} \right) = \left( {MP,MQ} \right)\).

Lại có tứ giác \(MPNQ\) là hình bình hành và \(MP = \frac{{AB}}{2} = a\), \(PN = \frac{{CD}}{2} = a\sqrt 2 \).

Trong tam giác \(MPN:\cos P = \frac{{P{M^2} + P{N^2} - M{N^2}}}{{2PM.PN}} = \frac{{{a^2} + 2{a^2} - 5{a^2}}}{{2.a.a\sqrt 2 }} = - \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \widehat P = 135^\circ \)

Do đó \(\widehat M = 45^\circ = \left( {MP,MQ} \right) = \left( {AB,CD} \right)\).