Cho tứ diện đều \[ABCD\] cạnh \[a\]. Tính góc giữa hai đường thẳng \[AC\] và \[BD\].

Gọi \[M\],\(P,Q\) lần lượt là trung điểm của \[BC\],\(CD\),\(AB\).

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC{\rm{//}}MQ\\BD{\rm{//}}MP\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\widehat {AC,BD}} \right) = \left( {\widehat {MQ,MP}} \right)\).

Ta có \(\Delta QCD\) cân tại \(Q\), \(P\) là trung điểm \(CD\) nên suy ra \(QP \bot CD\)

\( \Rightarrow QP = \sqrt {Q{C^2} - C{P^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) . Ta lại có: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}MQ = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}\\MP = \frac{1}{2}BD = \frac{a}{2}\end{array} \right.\\\end{array}\).

Suy ra: \(Q{P^2} = M{Q^2} + M{P^2} \Rightarrow \Delta MPQ\) vuông tại \(M\) \( \Rightarrow \left( {\widehat {MQ,MP}} \right) = \widehat {PMQ} = 90^\circ \).

Vậy \(\left( {\widehat {AC,BD}} \right) = 90^\circ \).