Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AD\). Khi đó \(ABCM\) là hình vuông.

Hạ \(MH \bot SD\).

Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CM\) mà \(CM \bot AD\) nên \(CM \bot \left( {SAD} \right)\). Suy ra \(CM \bot SD\).

Lại có \(MH \bot SD\) nên \(SD \bot \left( {MHC} \right)\). Suy ra \(CH \bot SD\).

Do đó \(\left[ {A,SD,C} \right] = \left[ {M,SD,C} \right] = \widehat {MHC}\).

Xét \(\Delta SAD\) vuông tại \(A\), có \(\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2a}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Suy ra \(\sin \widehat {SDA} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Xét \(\Delta MHD\) vuông tại \(H\), có \(\sin \widehat {SDA} = \frac{{MH}}{{MD}} \Rightarrow MH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Vì \(CM \bot \left( {SAD} \right)\) nên \(CM \bot MH\). Do đó \(\Delta CMH\) vuông tại \(M\).

Có \(CH = \sqrt {C{M^2} + M{H^2}} = \sqrt {{a^2} + \frac{{3{a^2}}}{9}} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

\(\cos \widehat {MHC} = \frac{{MH}}{{CH}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}:\frac{{2a\sqrt 3 }}{3} = \frac{1}{2} = 0,5\).

Trả lời: 0,5.

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AD\).

Vì \(\Delta SAD\) đều nên \(SH \bot AD\) mà \(\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right),\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD\) nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Hạ \(HI \bot BD\) và \(SH \bot BD\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\) nên \(BD \bot \left( {SHI} \right)\).

Hạ \(HK \bot SI\) và \(HK \bot BD\left( {BD \bot \left( {SHI} \right)} \right)\) nên \(HK \bot \left( {SBD} \right)\).

Suy ra \(d\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right) = HK\).

Có \(\Delta DIH\) đồng dạng \(DAB\) nên \(\frac{{DH}}{{DB}} = \frac{{IH}}{{AB}} \Rightarrow \frac{{IH}}{{AB}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow IH = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).

Có \(\Delta SAD\) đều cạnh bằng 2 nên \(SH = \frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \).

Xét \(\Delta SHI\) vuông tại \(H\), có \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{3} + 5 = \frac{{16}}{3} \Rightarrow HK = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\).

Lại có \(\frac{{d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{AD}}{{HD}} = 2 \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{2\sqrt 3 }}{4} \approx 0,87\).

Trả lời: 0,87.