Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(AB = a,BC = 2a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa \(SB\) và mặt phẳng đáy bằng \(60^\circ \). Giả sử thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng \(\frac{{\sqrt k {a^3}}}{k}\). Tìm giá trị \(k\).

a) Vì \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot AM\).

Vì \(\Delta ABC\) đều, \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(AM \bot BC\).

Suy ra \(AM\) là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(AA'\) và \(BC\).

b) Hạ \(AH \bot A'M\) (1).

Vì \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot BC\) mà \(AM \bot BC\) nên \(AM\)\(BC \bot \left( {AMA'} \right) \Rightarrow BC \bot AH\) (2).

Từ (1) và (2), suy ra \(AH \bot \left( {A'BC} \right)\).

Khi đó \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = AH\).

Vì \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét \(\Delta AMA'\) vuông tại \(A,\)có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{{A'}^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{5}{{3{a^2}}}\)\( \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\).

c) \(d\left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = AA' = a\sqrt 3 \).

d) \(d\left( {AA',BC} \right) = AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Đáp án: a) Đúng;    b) Đúng;    c) Sai;     d) Sai.

a) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot BC\).

b) Có \(DA \bot AB\) và \(SA \bot AD\) nên \(AD \bot \left( {SAB} \right)\).

Suy ra \(\left( {BD,\left( {SAB} \right)} \right) = \left( {BD,BA} \right) = \widehat {ABD} = 45^\circ \).

Do đó \(BD\) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).

c) \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot a\sqrt 3 \cdot {a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

d) \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;    c) Đúng;     d) Sai.