Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.\,A'B'C'\). Gọi \(G,\,G',\,I\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ABC,\,\,A'B'C',\,\,ABB'.\)

1) Chứng minh rằng:

     a) Mặt phẳng \(\left( {A'BG'} \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {AGC'} \right).\)

     b) Đường thẳng \(IG'\) song song với mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right).\)

2) Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(BB',\,\,CC'\). Đường thẳng \(d\) đi qua \[G\] cắt đường thẳng \(AB'\) tại \(H\) và cắt đường thẳng \[EF\] tại \(K\). Xác định các điểm \(H,\,\,K\) và tính \(\frac{{AH}}{{AB'}}.\)

a) Gọi \(M,\,\,M'\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,B'C'\). Suy ra mặt phẳng \(\left( {A'BG'} \right)\) là mặt phẳng \(\left( {A'BM'} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {AGC'} \right)\) là mặt phẳng \(\left( {AMC'} \right)\).

Ta có: các tứ giác \(AMM'A',\,\,BMC'M'\) là các hình bình hành.

Suy ra: \(A'M'\) song song \(AM\) và \(BM'\) song song \(MC'.\)

Mà \(A'M',\,\,BM' \subset \left( {A'BG'} \right);\,\,AM,\,\,MC' \subset \left( {AGC'} \right)\)

Suy ra: mặt phẳng \(\left( {A'BG'} \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {AGC'} \right).\)

b) Ta có: \(\frac{{A'I}}{{AB}} = \frac{{A'G'}}{{A'M'}} = \frac{2}{3} \Rightarrow IG'\) song song \(BM'.\)

Suy ra: \(IG'\) song song với mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right).\)

Ta có: \(G \in AM \Rightarrow G \in \left( {AB'M} \right)\); \(H \in AB' \Rightarrow H \in \left( {AB'M} \right)\)\( \Rightarrow GH \subset \left( {AB'M} \right)\)

Suy ra: \(K = EF \cap \left( {AB'M} \right)\) hay \(K = EF \cap B'M\) và \(H = GK \cap AB'\)

(Như hình vẽ)

Ta có: \(\frac{{MG}}{{GA}}.\frac{{AH}}{{HB'}}.\frac{{B'K}}{{KM}} = 1 \Rightarrow \frac{{AH}}{{AB'}} = 2.\) Vậy \(\frac{{AH}}{{AB'}} = 2.\)