Cho \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt {3x + 4} - 4}}{{x - 4}} = \frac{a}{b}\], với \[\frac{a}{b}\] là phân số tối giản. Tính \[2a + {b^2}\]?

Chọn A.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {f\left( x \right) + 4x - 1} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {4x - 1} \right) = - 2 + 4.3 - 1 = 9.\)

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \not\subset (SCD)\\(AB\,{\rm{//}}\,CD\\CD \subset (SCD)\end{array} \right. \Rightarrow AB\,{\rm{//}}\,(SCD)\)

b) Theo định lý Talet ta có: \[\frac{{MQ}}{{SA}} = \frac{{NP}}{{SB}} = \frac{{DM}}{{DA}} = \frac{{a - x}}{a} \Rightarrow MQ = NP = a - x\]

Mặt khác \[MN = AB = a,\] \[\frac{{PQ}}{{CD}} = \frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{{AM}}{{AD}}\]

Suy ra \[PQ = AM = x\] và tứ giác \[MNPQ\] là hình thang cân. Chiều cao hình thang cân này là

\[h = \sqrt {M{Q^2} - {{\left( {\frac{{MN - PQ}}{2}} \right)}^2}} \]\[ \Rightarrow h = \sqrt {{{(a - x)}^2} - {{\left( {\frac{{a - x}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {a - x} \right)\]

Diện tích hình thang là \[S = \frac{{a - x + x}}{2}.h = \frac{a}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {a - x} \right) = \frac{{2{a^2}\sqrt 3 }}{9} \Rightarrow a - x = \frac{8}{9}a \Leftrightarrow x = \frac{a}{9}.\]