Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác đều cạnh \[a\]. Biết \[SA = a\sqrt 2 \] và \[SA\] vuông góc với mặt đáy. Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SM\).

Gọi \[M\] là trung điểm của \[BC\] và \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[A\] lên \[SM\].

Ta có: \[AH \bot SM\].

Mặt khác \[BC \bot \left( {SAM} \right)\] nên \[BC \bot AH\]. Ta suy ra \[AH \bot \left( {SBC} \right)\].

Nên \[SH\] là hình chiếu của \[SA\] lên mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\].

Ta suy ra góc giữa đường thẳng \[SA\] và mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] là góc \[\alpha  = \widehat {ASH}\].

Xét tam giác \[SAM\] vuông tại \[A\] ta có:\[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{11}}{{6{a^2}}}\]\[ \Rightarrow A{H^2} = \frac{{6{a^2}}}{{11}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}\].

Xét tam giác \[SAH\] vuông tại \[H\] ta có: \[\sin \widehat {ASH} = \frac{{AH}}{{SA}} = \frac{{\frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}}}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {33} }}{{11}}\].

a) Đúng: Đường thẳng \(AH\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

b) Đúng: Đường thẳng \(SH\) là hình chiếu của đường thẳng \(SA\) lên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)

c) Sai: Độ dài đoạn thẳng \(AH\) bằng \(\frac{{6a}}{{11}}\)

d) Sai: Cosin góc tạo bởi đường thẳng \[SA\] và mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] bằng \(\frac{{\sqrt {33} }}{{11}}\).