Cho lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\). Biết rằng góc giữa \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là \(30^\circ \), tam giác \(A'BC\) có diện tích bằng \(18\).

Đặt \(AB = x,\left( {x > 0} \right)\), gọi \(M\) là trung điểm \(BC\).

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\AM \bot BC\\A'M \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {A'BC} \right),\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {A'MA} = 30^\circ \].

Xét \(\Delta A'AM\), có \[A'M = \frac{{AM}}{{cos30^\circ }} = \frac{{x\sqrt 3 }}{2}.\frac{2}{{\sqrt 3 }} = x\].

\({S_{A'BC}} = 18 \Leftrightarrow \frac{1}{2}A'M.BC = 18 \Leftrightarrow {x^2} = 36 \Rightarrow x = 6\)

Suy ra đường cao của hình lăng trụ là \(h = A'A = AM.\tan 30^\circ  = \frac{{6.\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{{\sqrt 3 }} = 3\),

Tam giác \(ABC\) đều nên \({S_{ABC}} = \frac{{{6^2}.\sqrt 3 }}{4} = 9\sqrt 3 \).

\({V_{A'.ABC.}} = \frac{1}{3}A'A.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.3.9\sqrt 3  = 9\sqrt 3  \approx 15.59\)

\({V_{ABC.A'B'C'}} = A'A.{S_{ABC}} = 3.9\sqrt 3  = 27\sqrt 3 \).

a) Sai: Hình lăng trụ đã cho có đường cao \(h = 3\).

b) Đúng: Diện tích đáy của hình lăng trụ đã cho là \({S_{ABC}} = 9\sqrt 3 \).

c) Sai: Thể tích của khối chóp \(A'.ABC\) bằng \(9\sqrt 3 \).

d) Đúng: Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\)là \({S_{ABC.A'B'C'}} = 27\sqrt 3 \).