Ông A muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng \[2304\,{{\rm{m}}^3}\]. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là \[600000\] đồng/\[{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\]. Nếu ông A biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông A trả chi phí thấp nhất (đơn vị: triệu đồng) để xây dựng bể đó là bao nhiêu (biết độ dày thành bể và đáy bể không đáng kể)?

Do \[\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}\] nên hàm số đã cho xác định \[ \Leftrightarrow 2{x^2} + mx + 2 > 0\].

Hàm số đã cho xác định với mọi \[x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow 2{x^2} + mx + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta  = {m^2} - 16 < 0\]

\[ \Leftrightarrow  - 4 < m < 4\].

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 3; - 2;...;2;3} \right\}\) nên có \(7\) giá trị \(m\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AK\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot AH\) mà \(AH \bot SK\) nên \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).

Do đó \(SK\) là hình chiếu vuông góc của \(SA\) trên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)

Đăt \(\alpha  = \left( {SA;\,\left( {SBC} \right)} \right) = \left( {SA;\,SK} \right) = \widehat {ASK}\).

Ta có \(AK = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{AB \cdot AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

Khi đó \(\tan \alpha  = \frac{{AK}}{{AS}} = \frac{{\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{2}{5}\).

a) Đúng: Hai đường thẳng \(BC\) và \(AH\) vuông góc với nhau.

b) Đúng: Đường thẳng \(AH\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)

c) Sai: Đoạn thẳng \(AK\) có độ dài bằng \(\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\)

d) Đúng: Tan góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\frac{2}{5}\).