Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot (ABCD),SA = 2a,ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a\). Gọi \(O\) là tâm của \(ABCD\).

Tính khoảng cách từ \(S\) đến \(DM\) với \(M\) là trung điểm \(OC\).

Trả lời: \(d(S,DM) = \frac{{\sqrt {190} }}{5}a\)

Lời giải

Kẻ \(SK \bot DM\) tại \(K \Rightarrow d(S,DM) = SK\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{DM \bot SA}\\{DM \bot SK}\end{array} \Rightarrow DM \bot (SAK) \Rightarrow DM \bot AK} \right.\)

Ta có:

\( \Rightarrow \frac{{KA}}{{OD}} = \frac{{AM}}{{DM}} \Rightarrow KA = \frac{{AM \cdot OD}}{{DM}} = \frac{{\frac{3}{4}a\sqrt 2  \cdot a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{5}a\)

Ta có: \(SK = \sqrt {S{A^2} + A{K^2}}  = \sqrt {{{(2a)}^2} + {{\left( {\frac{{3\sqrt {10} }}{5}a} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {190} }}{5}a\)

Vậy \(d(S,DM) = \frac{{\sqrt {190} }}{5}a\).