Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(AB = a,BC = a\sqrt 3 \). Hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt đáy là trung điểm \(H\) của cạnh \(AC\). Biết \(SB = a\sqrt 2 \).Khoảng cách từ điểm \(H\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng:………….

Dựng \(HI \bot AB\).

Ta có: \[\left. \begin{array}{l}AB \bot IH\\AB \bot SH\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {SIH} \right)\] và \(\left( {SIH} \right) \cap \left( {SAB} \right) = SI\).

Dựng \(HK \bot SI\).

Ta có : \[\left. \begin{array}{l}HK \bot AB\\HK \bot SI\end{array} \right\} \Rightarrow HK \bot \left( {SAB} \right)\].

Vậy \(d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right) = HK\).

Do \(HI/{\kern 1pt} /BC\) nên dễ dàng chỉ ra được \(I\) là trung điểm của \(AB\) và \(IH = \frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(IA = IB = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}\).

Ta có \(AB \bot SI\) nên \(SI = \sqrt {S{B^2} - I{B^2}}  = \sqrt {2{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\).

Do \(SH \bot IH\) nên xét tam giác vuông \(SIH\) có:

\(SH = \sqrt {S{I^2} - I{H^2}}  = \sqrt {\frac{{7{a^2}}}{4} - \frac{{3{a^2}}}{4}}  = a\); \(HK = \frac{{SH.HI}}{{SI}} = \frac{{a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 7 }}{2}}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Do vậy, ta có \(d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).