Rút gọn \(\sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } = {a^{\frac{m}{n}}}\,\,\left( {0 < a \ne 1;\,m,n \in \mathbb{N}} \right)\)và \(\frac{m}{n}\)là phân số tối giản.

Gọi \(x(m)\) là độ dài 1 cạnh của đáy.

Diện tích đáy của bể cá là \(S = \frac{2}{{0,5}} = 4\left( {{m^2}} \right)\). Suy ra độ dài cạnh còn lại của đáy là \(\frac{4}{x}\,\,\left( m \right)\).

Để chi phí mua kính làm bể là thấp nhất thì tổng diện tích các mặt của hình hộp là nhỏ nhất. Tổng diện tích các mặt là \(S = 0,5.x.2 + \frac{4}{x}.0,5.2 + 4 = x + \frac{4}{x}\,\, + 4\,\,\left( {m{}^2} \right)\).

                                     \( = {\left( {\sqrt x } \right)^2} + {\left( {\frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^2} - 2\sqrt x .\frac{2}{{\sqrt x }} + 8\)

                                     \( = {\left( {\sqrt x  - \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^2} + 8 \ge 8\)

Vậy \(S\) nhỏ nhất bằng \(8\,\,\left( {m{}^2} \right)\)\( \Leftrightarrow \sqrt x  = \frac{2}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 2\)

Chi phí mua kính ít nhất là \(8.150\,000 = 1\,200\,000\) đồng.

Đáp án: \(1\,200\,000\) đồng.