PHẦN III: TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (6 CÂU)

Ở địa phương nọ, người ta tính toán thấy rằng: nếu diện tích khai thác rừng hàng năm không đổi như hiện nay thì sau\(60\)năm nữa diện tích rừng sẽ hết, nhưng trên thực tế thì diện tích khai thác rừng tăng trung bình hàng năm là\[5\% /\]năm. Hỏi sau bao nhiêu năm nữa diện tích rừng sẽ bị khai thác hết? Giả thiết trong quá trình khai thác, rừng không được trồng thêm, diện tích rừng tự sinh ra và mất đi (do không khai thác) là không đáng kể.

              Số năm để khai thác hết diện tích rừng là………………..

Dựng \(HI \bot AB\).

Ta có: \[\left. \begin{array}{l}AB \bot IH\\AB \bot SH\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {SIH} \right)\] và \(\left( {SIH} \right) \cap \left( {SAB} \right) = SI\).

Dựng \(HK \bot SI\).

Ta có : \[\left. \begin{array}{l}HK \bot AB\\HK \bot SI\end{array} \right\} \Rightarrow HK \bot \left( {SAB} \right)\].

Vậy \(d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right) = HK\).

Do \(HI/{\kern 1pt} /BC\) nên dễ dàng chỉ ra được \(I\) là trung điểm của \(AB\) và \(IH = \frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(IA = IB = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}\).

Ta có \(AB \bot SI\) nên \(SI = \sqrt {S{B^2} - I{B^2}}  = \sqrt {2{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\).

Do \(SH \bot IH\) nên xét tam giác vuông \(SIH\) có:

\(SH = \sqrt {S{I^2} - I{H^2}}  = \sqrt {\frac{{7{a^2}}}{4} - \frac{{3{a^2}}}{4}}  = a\); \(HK = \frac{{SH.HI}}{{SI}} = \frac{{a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 7 }}{2}}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Do vậy, ta có \(d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

+ Gọi hình chóp tứ giác đều là \(S.ABCD\) như hình vẽ, \(O = AC \cap BD,\,M\) là trung điểm của \(AB\)

Khi đó góc nhị diện tạo bởi mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) và mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\left[ {S,AB,O} \right]\).

Ta có \(SM \bot AB\) và \(OM \bot AB\), suy ra \(\widehat {SMO}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {S,AB,O} \right]\).

Xét tam giác \(SMO\) ta có \[\tan \widehat {SMO} = \frac{{SO}}{{OM}} \Rightarrow BC = 2OM = \frac{{2SO}}{{\tan \widehat {SMO}}} \approx 230,36\,(m)\]

+ Tìm số đo của góc phẳng nhị diện hai mặt bên, tức là số đo của góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,SB,C} \right]\)

Kẻ \(AI \bot SB\), lại có \(SB \bot AC\)(vì\(AC \bot \left( {SBD} \right)\)) từ đó suy ra \(SB \bot CI\).

Vậy góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,SB,C} \right]\) là góc \(\widehat {AIC}\).

Hai tam giác \(\Delta SAB = \Delta SBC\) suy ra hai đường cao \(AI = CI\), tam giác \(\Delta IAC\) cân tại I.

Đặt \(a = 230,36;\,h = 146,6\)

Ta có \(AC = a\sqrt 2  \Rightarrow OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow SA = \sqrt {S{O^2} + O{A^2}}  = \sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} \); \[SM = \sqrt {S{O^2} + O{M^2}}  = \sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} \]

Trong tam giác cân SAB ta có \({S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}AI.SB = \frac{1}{2}SM.AB \Rightarrow AI = \frac{{SM.AB}}{{SB}} = \frac{{\sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} .a}}{{\sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} }}\)

\(\cos \widehat {AIC} = \frac{{A{I^2} + C{I^2} - A{C^2}}}{{2AI.CI}} = \frac{{2{a^2}\left( {\frac{{4{h^2} + {a^2}}}{{2\left( {2{h^2} + {a^2}} \right)}}} \right) - 2{a^2}}}{{2.\frac{{4{h^2} + {a^2}}}{{2\left( {2{h^2} + {a^2}} \right)}}{a^2}}} = \frac{{ - {a^2}}}{{4{h^2} + {a^2}}}\), thay số \(a = 230,36;\,h = 146,6\)

Ta suy ra được \(\widehat {AIC} \approx {112^0}26'16''\).