Cho tứ diện \(ABCD\) có \(\widehat {DAB} = \widehat {CBD} = 90^\circ ;\) \(AB = a;\) \(AC = a\sqrt 5 ;\) \(\widehat {ABC} = 135^\circ .\) Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\), \(\left( {BCD} \right)\) bằng \(30^\circ .\) Thể tích của tứ diện \(ABCD\) là.

Gọi \(H\) thuộc mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(DH \bot \left( {ABC} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BA \bot DA\\BA \bot DH\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BA \bot AH.\) Tương tự \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot BD\\BC \bot DH\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BC \bot BH.\)

Tam giác \(ABH\) có \(AB = a;\) \(\widehat {ABC} = 135^\circ ;\) \(\widehat {CBH} = 90^\circ \) \( \Rightarrow \widehat {{\rm{ }}ABH} = 45^\circ \) suy ra \(\Delta ABH\) vuông cân tại \(A\) \( \Rightarrow AH = AB = a\).

Áp dụng định lý côsin ta có \(BC = a\sqrt 2 .\)

Diện tích tam giác \(ABC\): \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.BA.BC.sin\widehat {ABC} = \frac{1}{2}.a.a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}.\)

Kẻ \(HE\), \(HF\) lần lượt vuông góc với \(DA\), \(DB\).

Suy ra \(HE \bot \left( {ABD} \right)\), \(HF \bot \left( {BCD} \right)\) nên góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\), \(\left( {BCD} \right)\) bằng góc \(\widehat {EHF}.\)

Tam giác \(EHF\) vuông tại \(E\), ta có \(HE = \frac{{a.DH}}{{\sqrt {{a^2} + D{H^2}} }}\), \(HF = \frac{{DH.a.\sqrt 2 }}{{\sqrt {2{a^2} + D{H^2}} }}.\)

Mặt khác: \[\cos \widehat {EHF} = \frac{{HE}}{{HF}} = \sqrt {\frac{3}{4}}  = \frac{{\sqrt {D{H^2} + 2{a^2}} }}{{\sqrt {2.D{H^2} + 2{a^2}} }}\] \[ \Rightarrow DH = a.\]

Thể tích tứ diện \(ABCD\) là \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.DH.{S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^3}}}{6}.\)