Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) biết đỉnh \(A\left( {6;6} \right)\). Đường thẳng \(d\) đi qua trung điểm các cạnh \(AB,\,AC\) có phương trình \(x + y - 4 = 0\). Biết điềm \(E\left( {1;\, - 3} \right)\) thuộc đường cao đi qua đỉnh \(C\) của tam giác \(ABC\). Giả sử \(C\left( {{x_C};\,{y_C}} \right)\) và \({x_C} > 0\). Tính \(x_C^2 + y_C^2\)

Số phần tử của không gian mẫu \[n\left( \Omega  \right) = C_{34}^5\]

Gọi \[A\] là biến cố: "Chọn được 2 học sinh nam và 3 học sinh nữ".

Chọn 2 học sinh nam trong số 16 học sinh nam thì có \[C_{16}^2\]cách chọn.

Chọn 3 học sinh nữ trong số 18 học sinh nữ thì có \[C_{18}^3\]cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân, sẽ có \[C_{16}^2.C_{18}^3\]cách chọn 2 học sinh nam và 3 học sinh nữ.

Vậy xác suất cần tìm \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{C_{16}^2.C_{18}^3}}{{C_{34}^5}} = \frac{{120}}{{341}}\].

Điều kiện \(n \ge 2,\,\,\,n \in \mathbb{N}*.\)

\(A_n^1 - 3A_n^2 = n - 36 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} - 3.\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = n - 36 \Leftrightarrow  - 3{n^2} + 3n + 36 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 4\,\,\left( {tm} \right)\\n =  - 3\,\,\left( {loai} \right).\end{array} \right.\)

Các ba ước nguyên dương của 4 là \[\left\{ {1;\,2;\,4} \right\}.\].