Một hộp chứa \(20\) chiếc thẻ được đánh số từ \(1\) đến 20. Rút ngẫu nhiên đồng thời \(3\) thẻ. Tính xác suất để rút được ít nhất \(1\) thẻ mang số chia hết cho \(5\).

Ta có \({\Delta _m}:\left( {m - 2} \right)x + \left( {m + 1} \right)y - 5m + 1 = 0 \Leftrightarrow m\left( {x + y - 5} \right) + \left( { - 2x + y + 1} \right) = 0\)

Khi đó, \({\Delta _m}\) luôn đi qua điểm cố định \(M\left( {2;3} \right)\).

Gọi \(d = d\left( {A,{\Delta _m}} \right) = AH,H \in {\Delta _m}\) \( \Rightarrow d \le AM\).

\( \Rightarrow d\) lớn nhất khi \(H \equiv M\) hay \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \(\Delta \).

Ta có \(\overrightarrow {AM} \left( {5; - 6} \right)\) và \({\Delta _m}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {m + 1;2 - m} \right)\).

Đường thẳng \(AM \bot {\Delta _m}\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow u  = 0\)

\( \Leftrightarrow 5\left( {m + 1} \right) - 6\left( {2 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow 11m - 7 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{7}{{11}} \Rightarrow S = 2a - b = 2.7 - 11 = 3\).

Gọi số tự nhiên có \(4\) chữ số đôi một khác nhau là \(\overline {abcd} ;a \ne 0\).

Trường hợp 1: Số được lập có \(4\) chữ số chẵn, có \(4! = 24\) (số).

Trường hợp 2: Số được lập có \(1\) chữ số lẻ và \(3\) chữ số chẵn:

Chọn 1 số lẻ có 5 cách

Chọn vị trí cho số lẻ có 4 cách

Chọn 3 số chẵn từ 4 số chẵn và xếp vào 3 vị trí có: \(A_4^3\) cách

Suy ra, có \(5.4.A_4^3 = 480\) (số).

Trường hợp 3: Số được lập có 2 chữ số lẻ và \(2\) chữ số chẵn,

Chọn vị trí cho hai số lẻ có 3 cách (hai số lẻ xếp vào các vị trí: ac;bd;ad)

Chọn 2 số lẻ từ 5 số lẻ và xếp vào 2 vị trí có: \(A_5^2\) cách

Chọn 2 số chẵn từ 4 số chẵn và xếp vào 2 vị trí còn lại có: \(A_4^2\) cách

Suy ra, có \(3.A_5^2.A_4^2 = 720\) (số).

Do đó, số các số tự nhiên có \(4\) chữ số đôi một khác nhau và không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ là: \(24 + 480 + 720 = 1224\).