Cho đường thẳng \[{\Delta _m}:\left( {m - 2} \right)x + \left( {m + 1} \right)y - 5m + 1 = 0\] với \[m\] là tham số, và điểm \[A\left( { - 3;9} \right)\]. Giả sử \[m = \frac{a}{b}\] (là phân số tối giản) để khoảng cách từ \[A\] đến đường thẳng \[{\Delta _m}\] là lớn nhất. Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức \[S = 2a - b.\]

Ta có \({\Delta _m}:\left( {m - 2} \right)x + \left( {m + 1} \right)y - 5m + 1 = 0 \Leftrightarrow m\left( {x + y - 5} \right) + \left( { - 2x + y + 1} \right) = 0\)

Khi đó, \({\Delta _m}\) luôn đi qua điểm cố định \(M\left( {2;3} \right)\).

Gọi \(d = d\left( {A,{\Delta _m}} \right) = AH,H \in {\Delta _m}\) \( \Rightarrow d \le AM\).

\( \Rightarrow d\) lớn nhất khi \(H \equiv M\) hay \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \(\Delta \).

Ta có \(\overrightarrow {AM} \left( {5; - 6} \right)\) và \({\Delta _m}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {m + 1;2 - m} \right)\).

Đường thẳng \(AM \bot {\Delta _m}\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow u  = 0\)

\( \Leftrightarrow 5\left( {m + 1} \right) - 6\left( {2 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow 11m - 7 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{7}{{11}} \Rightarrow S = 2a - b = 2.7 - 11 = 3\).