Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {2;1;0} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\).

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 1} \right)\).

b) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2;1;0} \right)\) và vuông góc với \(d\) nhận \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(2\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right) - z = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + y - z - 5 = 0\).

Suy ra \(b = 1;c = - 1;d = - 5\). Do đó \(b + c + d = - 5\).

c) Gọi H là giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Khi đó tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-2+t\\ z=-t\\ 2x+y-z-5=0\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-2+t\\ z=-t\\ 2+4t-2+t+t-5=0\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{8}{3}\\ y=-\frac{7}{6}\\ z=-\frac{5}{6}\\ t=\frac{5}{6}\end{array}\right.$

Suy ra $H\left(\frac{8}{3};-\frac{7}{6};-\frac{5}{6}\right)$

Vì \(M'\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(d\) nên \(H\) là trung điểm của \(M'M\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M}\\{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M}\\{z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2.\frac{8}{3} - 2\\{y_{M'}} = 2.\left( { - \frac{7}{6}} \right) - 1\\{z_{M'}} = 2.\left( { - \frac{5}{6}} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = \frac{{10}}{3}\\{y_{M'}} = - \frac{{10}}{3}\\{z_{M'}} = - \frac{{10}}{6}\end{array} \right.\). Vậy \(M'\left( {\frac{{10}}{3}; - \frac{{10}}{3}; - \frac{{10}}{6}} \right)\).

d) Giả sử \(\Delta \) cắt đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\) tại \(K\). Suy ra \(K\left( {1 + 2t; - 2 + t; - t} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {MK} = \left( {2t - 1;t - 3; - t} \right)\).

Vì \(\Delta \bot d\) nên \(\overrightarrow {MK} .\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2t - 1} \right).2 + \left( {t - 3} \right).1 + t = 0\)\( \Leftrightarrow t = \frac{5}{6}\).

Suy ra \(\overrightarrow {MK} = \left( {\frac{2}{3}; - \frac{{13}}{6}; - \frac{5}{6}} \right) = \frac{2}{3}\left( {1; - \frac{{13}}{4}; - \frac{5}{4}} \right)\).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\left( {2;1;0} \right)\) nhận \(\overrightarrow u = \left( {1; - \frac{{13}}{4}; - \frac{5}{4}} \right)\) có phương trình là

\(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - \frac{{13}}{4}}} = \frac{z}{{ - \frac{5}{4}}}\). Suy ra \(a + b = - \frac{9}{2}\).