Người ta kéo dây điện từ nguồn điện ở vị trí A đến B rồi kéo lên vị trí C là Ngọn Hải Đăng ở Vũng Tàu để chiếu sáng. Biết khoảng cách từ vị trí A đến chân Ngọn Hải Đăng là 5 km, chiều cao Ngọn Hải Đăng là 1 km. Tiền công kéo dây điện bắt từ A đến B là 2 triệu đồng/ km và từ B đến C là 3 triệu đồng/km (như hình vẽ). Hỏi tổng chiều dài (km) dây điện đã kéo từ A đến C là bao nhiêu biết tổng chi phí tiền công kéo dây điện là 13 triệu đồng?

Gọi \(x\) (km, \(0 < x < 5\)) là chiều dài từ A đến B.

Suy ra chiều dài từ B đến chân Ngọn Hải Đăng là \(5 - x\) (km).

Khi đó chiều dài từ B đến C là \(\sqrt {{1^2} + {{\left( {5 - x} \right)}^2}} = \sqrt {26 - 10x + {x^2}} \) (km).

Theo đề ta có \(2x + 3\sqrt {26 - 10x + {x^2}} = 13\)\( \Leftrightarrow 3\sqrt {26 - 10x + {x^2}} = 13 - 2x\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}13 - 2x \ge 0\\9\left( {26 - 10x + {x^2}} \right) = {\left( {13 - 2x} \right)^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{{13}}{2}\\5{x^2} - 38x + 65 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{{13}}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = \frac{{13}}{5}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = \frac{{13}}{5}\end{array} \right.\).

Kết hợp điều kiện \(0 < x < 5\), ta có \(x = \frac{{13}}{5}\).

Tổng chiều dài dây điện kéo từ A đến C là \(\frac{{13}}{5} + \sqrt {26 - 10 \cdot \frac{{13}}{5} + {{\left( {\frac{{13}}{5}} \right)}^2}} = \frac{{26}}{5} = 5,2\) km.