Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z + 2}}{2}\) và điểm \(A\left( {3;2;0} \right)\).

a) S, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Thay tọa độ điểm \(A\left( {3;2;0} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z + 2}}{2}\) ta được

\(d:\frac{{3 + 1}}{1} = \frac{{2 + 3}}{2} = \frac{{0 + 2}}{2}\) (vô lí).

Vậy đường thẳng \(\left( d \right)\) không đi qua điểm \(A\left( {3;2;0} \right)\).

b) Đường thẳng \(\left( d \right)\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;2;2} \right)\).

c) Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\left( {3;2;0} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\left( d \right)\) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;2;2} \right)\)làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng: \(x + 2y + 2z - 7 = 0\).

H là hình chiếu của \(A\) lên đường thẳng \(d\) nên tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = - 3 + 2t\\z = - 2 + 2t\\x + 2y + 2z - 7 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = - 3 + 2t\\z = - 2 + 2t\\ - 1 + t + 2\left( { - 3 + 2t} \right) + 2\left( { - 2 + 2t} \right) - 7 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = - 3 + 2t\\z = - 2 + 2t\\9t = 18\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 2\\t = 2\end{array} \right.\). Suy ra \(H\left( {1;1;2} \right)\).

d) Vì \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua đường thẳng \(d\) nên H là trung điểm của \(AA'\).

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A}\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A}\\{z_{A'}} = 2{z_H} - {z_A}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2.1 - 3\\{y_{A'}} = 2.1 - 2\\{z_{A'}} = 2.2 - 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = - 1\\{y_{A'}} = 0\\{z_{A'}} = 4\end{array} \right.\). Suy ra \(A'\left( { - 1;0;4} \right)\).