Bạn An cần mua một chiếc gương có viền là đường parabol bậc 2 (xem hình vẽ). Biết rằng đoạn \(AB = 60\;{\rm{cm}}\), \(OH = 30\;{\rm{cm}}\). Diện tích của chiếc gương bạn An mua bằng bao nhiêu\({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\)?

Trả lời: 595

Ta có \(f\left( x \right) = \frac{{3{x^3} - 2x + 1}}{x} = 3{x^2} - 2 + \frac{1}{x}\).

Có \(F\left( x \right) = \int {\left( {3{x^2} - 2 + \frac{1}{x}} \right)dx} = {x^3} - 2x + \ln \left| x \right| + C\).

Vì \(F\left( 1 \right) = 3\) nên \(F\left( 1 \right) = {1^3} - 2.1 + \ln \left| 1 \right| + C = 3 \Leftrightarrow C = 4\).

Do đó \(F\left( x \right) = {x^3} - 2x + \ln \left| x \right| + 4\).

Suy ra \(F\left( 5 \right) = {5^3} - 2.5 + \ln \left| 5 \right| + 4 = 119 + \ln 5\).

Suy ra \(a = 119;b = 5\). Vậy \(T = ab = 595\).

Trả lời: −367

Phương trình đường thẳng d là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 688 + 91t\\y = - 185 + 75t\\z = 8\end{array} \right.\).

Giả sử M là vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa.

Suy ra \(M \in d\)\( \Rightarrow M\left( { - 688 + 91t; - 185 + 75t;8} \right)\).

Vì \(OM = 417\) nên \(\sqrt {{{\left( { - 688 + 91t} \right)}^2} + {{\left( { - 185 + 75t} \right)}^2} + 64} = 417\)

\( \Leftrightarrow {\left( { - 688 + 91t} \right)^2} + {\left( { - 185 + 75t} \right)^2} + 64 = {417^2}\)

\( \Leftrightarrow 13906{t^2} - 152966t + 333744 = 0\)

\( \Leftrightarrow t = 8\) hoặc \(t = 3\).

Với \(t = 8\) thì \(M\left( {40;415;8} \right)\)\( \Rightarrow AM = \sqrt {{{\left( {40 + 688} \right)}^2} + {{\left( {415 + 185} \right)}^2} + {{\left( {8 - 8} \right)}^2}} \approx 943,4\).

Với \(t = 3\) thì \(M\left( { - 415;40;8} \right)\)\( \Rightarrow AM = \sqrt {{{\left( { - 415 + 688} \right)}^2} + {{\left( {40 + 185} \right)}^2} + {{\left( {8 - 8} \right)}^2}} \approx 353,8\).

Vì \(353,8 < 943,4\) nên tọa độ điểm M xuất hiện sớm nhất trên ra đa là \(M\left( { - 415;40;8} \right)\).

Suy ra \(a + b + c = - 415 + 40 + 8 = - 367\).