Để phương trình \(\frac{{5 + 4{\rm{sin}}\left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right)}}{{{\rm{sin}}x}} = \frac{{6{\rm{tan}}\alpha }}{{1 + {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha }}\) có nghiệm thì giá trị \(\alpha \) là

 

Đáp án B

\(\alpha = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\)

Giải thích

Điều kiện: \({\rm{sinx}} \ne 0\)

\(\frac{{6{\rm{tan}}\alpha }}{{1 + {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha }} = 6{\rm{tan}}\alpha {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 3{\rm{sin}}2\alpha ,{\rm{cos}}\alpha \ne 0\)

\(\left( {\rm{*}} \right) \Leftrightarrow \frac{{5 - 4{\rm{cos}}x}}{{{\rm{sin}}x}} = 3{\rm{sin}}2\alpha \Leftrightarrow 3{\rm{sin}}2\alpha {\rm{sin}}x + 4{\rm{cos}}x = 5\) (**)

Phương trình có nghiệm khi.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{cos}}\alpha \ne 0}\\{{{(3{\rm{sin}}2\alpha )}^2} + 16 \ge 25}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{cos}}\alpha \ne 0}\\{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}2\alpha \ge 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{cos}}\alpha \ne 0}\\{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}2\alpha = 1}\end{array} \Leftrightarrow {\rm{cos}}2\alpha = 0 \Leftrightarrow \alpha = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}} \right.} \right.} \right.\)