Phương trình \(\frac{{{\rm{sin}}3x}}{3} = \frac{{{\rm{sin}}5x}}{5}\) có 3 nghiệm \({\rm{A}},{\rm{B}},{\rm{C}}\) phân biệt thuộc khoảng \(\left[ {0;\pi } \right)\) khi đó \({\rm{cos}}A + {\rm{cos}}B + \;{\rm{cos}}C\) bằng

   

Đáp án

1

Giải thích

\(PT \Leftrightarrow 5{\rm{sin}}3x = 3{\rm{sin}}5x\)

\( \Leftrightarrow 4\left( {{\rm{sin}}5x - {\rm{sin}}3x} \right) = {\rm{sin}}5x + {\rm{sin}}3x\)

\( \Leftrightarrow 8{\rm{cos}}4x{\rm{sin}}x = 2{\rm{sin}}4x{\rm{cos}}x\)

\( \Leftrightarrow 4{\rm{cos}}4x{\rm{sin}}x = 2{\rm{sin}}2x{\rm{cos}}2x{\rm{cos}}x\)

\( \Leftrightarrow \left( {2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x - 1} \right){\rm{sin}}x = {\rm{sin}}x{\rm{cos}}2x{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{sin}}x = 0}\\{\left( {2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x - 1} \right) = {\rm{cos}}2x\frac{{\left( {1 + {\rm{cos}}2x} \right)}}{2}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{sin}}x = 0}\\{3{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x - {\rm{cos}}2x - 2 = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{sin}}x = 0}\\{{\rm{cos}}2x = 1}\\{{\rm{cos}}2x = - \frac{2}{3}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = k\pi }\\{x = \pm \frac{1}{2}{\rm{arccos}}\left( { - \frac{2}{3}} \right) + k\pi }\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra có 1 nghiệm là 0 và 2 nghiệm còn lại đều thuộc \(\left[ {0;\pi } \right)\)

Ta có \({\rm{cos}}2x = - \frac{2}{3} \Rightarrow 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 1 = - \frac{2}{3} \Rightarrow {\rm{cos}}x = \pm \sqrt {\frac{1}{6}} \)

Vậy \({\rm{cos}}A + {\rm{cos}}B + {\rm{cos}}C = 1\)