Xét các số thực \(x,y\) thỏa mãn \({5^{{{(x + y)}^2}}} + {25^{xy}}\left( {{x^2} + {y^2} - 1 - xy} \right) - {5^{3xy + 1}} = 0\). Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {x^4} + {y^4} - {x^2}{y^2}\). Khi đó \(3m + 2M\) bằng

Đáp án

\(3m + 2M = \frac{{10}}{3}\).

Giải thích

Ta có: \({5^{{{(x + y)}^2}}} + {25^{xy}}\left( {{x^2} + {y^2} - 1 - xy} \right) - {5^{3xy + 1}} = 0 \Leftrightarrow {5^{{{(x + y)}^2} - 2xy}} - {5^{xy + 1}} = - \left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \left( {xy + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow {5^{{x^2} + {y^2}}} + {x^2} + {y^2} = {5^{xy + 1}} + \left( {xy + 1} \right)\,\,(1)\).

Xét hàm số \(y = {5^t} + t\) trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) có \(y' = {5^t}.{\rm{ln}}5 + 1 > 0,\forall t \in \left[ {0; + \infty } \right)\).

Phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = xy + 1 \Rightarrow 2xy \le xy + 1 = {(x + y)^2} - 2xy \Leftrightarrow - \frac{1}{3} \le xy \le 1\).

Ta có: \(P = {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - 3{x^2}{y^2} = {(xy + 1)^2} - 3{x^2}{y^2} = - 2{(xy)^2} + 2xy + 1\).

Xét hàm số \(y = - 2{t^2} + 2t + 1\) trên \(\left[ { - \frac{1}{3};1} \right]\) có \(y' = - 4t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} \in \left( { - \frac{1}{3};1} \right)\).

Ta có: \(y\left( { - \frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{9},y\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{3}{2},y\left( 1 \right) = 1\) suy ra \(m = \frac{1}{9}\) và \(M = \frac{3}{2}\).

Vậy \(3m + 2M = 3.\frac{1}{9} + 2.\frac{3}{2} = \frac{{10}}{3}\).