Hệ số của $x^{10}$ trong khai triển ${(1+x +x^2+x^3)}^5$ bằng bao nhiêu?

Đáp án:  ____

 

Đáp án

101

Giải thích

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có

\({\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^5} = {(1 + x)^5}{\left( {1 + {x^2}} \right)^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} {x^k}.\sum\limits_{l = 0}^5 {C_5^l} {\left( {{x^2}} \right)^l} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} .\sum\limits_{l = 0}^5 {C_5^l} .{x^{k + 2l}}\) .

Số hạng chứa \({x^{10}}\) trong khai triển tương ứng với \(k + 2l = 10 \Leftrightarrow k = 10 - 2l\).

Kết hợp với điều kiện ta có hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{k + 2l = 10}\\{0 \le k \le 5,\,\,0 \le l \le 5 \Leftrightarrow \left( {k;l} \right) = \left\{ {\left( {0;5} \right),\left( {2;4} \right),\left( {4;3} \right)} \right\}}\\{k,l \in \mathbb{N}}\end{array}} \right.\).

Vậy hệ số cần tìm là \(C_5^0.C_5^5 + C_5^2.C_5^4 + C_5^4.C_5^3 = 101\).