Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Một đường thẳng $∆$ cắt các đường thẳng AA’, BC, C’D’ lần lượt tại M,N,P sao cho$\underset{NM}{\to } = 2 \underset{NP}{\to }$ . Tỉ số $\frac{MA}{MA\text{'}}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án:  __

 

Đáp án

2

Giải thích

Đặt \(\overrightarrow {AD}  = \vec a,\overrightarrow {AB}  = \vec b,\overrightarrow {AA'}  = \vec c\).

Vì \(M \in AA'\) nên \(\overrightarrow {AM}  = k\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {kc} ;N \in BC \Rightarrow \overrightarrow {BN}  = h\overrightarrow {BC}  = h\vec a;P \in C'D' \Rightarrow \overrightarrow {C'P}  = m\vec b\)

Ta có:

\(\overrightarrow {NM}  = \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AM}  =  - h\vec a - \vec b + k\vec c\)

\(\overrightarrow {NP}  = \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {B'C'}  + \overrightarrow {C'P}  = \left( {1 - h} \right)\vec a + m\vec b + \vec c\)

Do \(\overrightarrow {NM}  = 2\overrightarrow {NP}  \Rightarrow  - h\vec a - \vec b + k\vec c = 2\left[ {\left( {1 - h} \right)\vec a + m\vec b + \vec c} \right]\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - h = 2\left( {1 - h} \right)}\\{ - 1 = 2m}\\{k = 2}\end{array} \Leftrightarrow k = 2,m =  - \frac{1}{2},h = 2} \right.\). Vậy \(\frac{{MA}}{{MA'}} = 2\).