Đáp án:  ______

 

Đáp án

0,167

Giải thích

Tam giác \(ABC\) có \(AB = AC = a;\widehat {BAC} = {60^ \circ }\) nên tam giác \(ABC\) đều nên \(BC = a\).

Tam giác \(ABD\) có \(AB = AD = a;\widehat {BAD} = {90^ \circ }\) nên tam giác \(ABD\) vuông cân nên \(BD = a\sqrt 2 \).

Tam giác \(ACD\) có \(AC = AD = a;\widehat {CAD} = {120^ \circ }\) nên tam giác \(ACD\) cân nên \(CD = a\sqrt 3 \).

Tam giác \(BCD\) có \(C{D^2} = B{C^2} + B{D^2}\) nên tam giác \(BCD\) vuông tại \(B\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Ta có \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};DM = \frac{{3a}}{2};DG = \frac{2}{3}DM = a\).

Kẻ \(GN//{\rm{CD}},N \in BC\).

Ta có \(NG = \frac{1}{3}CD = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) và \(NC = \frac{1}{3}BC = \frac{a}{3}\).

Tam giác \(ACN\) có \(AN = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{3}} \right)}^2} + {a^2} - 2.\frac{a}{3}.a{\rm{cos}}{{60}^ \circ }} = \frac{{a\sqrt 7 }}{3}\).

\({\rm{cos}}\widehat {ADG} = \frac{{A{D^2} + D{M^2} - A{M^2}}}{{2.AD.DM}} = \frac{5}{6}\).

Suy ra \(AG = \sqrt {A{D^2} + D{G^2} - 2AD.DG.{\rm{cos}}\widehat {ADG}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Suy ra \({\rm{cos}}\widehat {AGN} = \frac{{G{A^2} + G{N^2} - A{N^2}}}{{2.GA.GN}} = - \frac{1}{6}\).

Do đó \({\rm{cos}}\left( {AG,CD} \right) = {\rm{cos}}\left( {AG,NG} \right) = \left| {{\rm{cos}}\widehat {AGN}} \right| = \frac{1}{6} \approx 0,167\).