Một đa giác đều có \(32\) đỉnh. Chọn ngẫu nhiên \(3\) đỉnh từ \(32\) đỉnh của đa giác đó. Xác suất để \(3\) đỉnh được chọn là \(3\) đỉnh của một tam giác vuông nhưng không cân là \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính giá trị biểu thức \(T = b - 3a\)

Ta có: \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = m + 3\end{array} \right.\).

\(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( {m;m + 3} \right)\)

Do đó: \(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\) \( \Leftrightarrow \) \(\left( { - 1;0} \right) \subset \left( {m;m + 3} \right)\) \( \Leftrightarrow \) \(m \le  - 1 < 0 \le m + 3\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le  - 1\\0 \le m + 3\end{array} \right.\).\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le  - 1\\ - 3 \le m\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 3 \le m \le  - 1\)

Vậy \( - 3 \le m \le  - 1\)\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 3;\, - 2;\, - 1} \right\}\) nên có \(3\) giá trị nguyên thỏa mãn.

Xếp 1 học sinh lớp C vào chỗ, xảy ra 2 trường hợp:

Trường hợp 1: học sinh lớp C ngồi ở một trong 2 đầu, có 2 cách xếp.

Khi đó, có \(A_4^2\) cách xếp 2 học sinh lớp B và \(A_3^3\) cách xếp 3 học sinh lớp   A.

\( \Rightarrow \) có \(2.A_4^2.A_3^3\) cách xếp cho trường hợp 1.

Trường hợp 2: học sinh lớp C không ngồi ở hai đầu, có 4 cách xếp.

Khi đó, có \(A_3^2\) cách xếp 2 học sinh lớp B và \(A_3^3\) cách xếp 3 học sinh lớp   A.

\( \Rightarrow \) có \(4.A_3^2.A_3^3\) cách xếp cho trường hợp 2.

Suy ra số cách xếp thỏa mãn là \(2.A_4^2.A_3^3 + 4.A_3^2.A_3^3 = 216\).