Cho tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC} = 90^\circ ,\,BC = CD\), \(M\) là trung điểm của \(AB\), đường tròn tâm \(C\) bán kính \(BC\) cắt \(MD\) tại \(E\left( {E \ne D} \right)\), \(H\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

1) Chứng minh rằng tứ giác \(BHEM\) là tứ giác nội tiếp.

2) Gọi \(F\) là giao điểm của \(AE\) và đường tròn \(\left( C \right)\,\left( {F \ne E} \right)\). Chứng minh \(BC \bot DF\)

3) Gọi \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(BC\) và đường tròn \(\left( C \right)\,\left( {I \ne B} \right)\), \(J\) là giao điểm của \(AI\) và \(DF\). Tính tỉ số \(\frac{{DJ}}{{DF}}\)

2) Gọi các số tự nhiên \({a_1},{a_2},...,{a_{17}}\) lần lượt là độ dài đường kính 17 đường tròn đã vẽ và \({r_1},{r_2},...,{r_{17}}\) là số dư khi chia lần lượt \({a_1},{a_2},...,{a_{17}}\) cho 5.

Ta có: \({r_1},{r_2},...,{r_{17}} \in {\rm{\{ }}0;1;2;3;4\} \)

Nếu trong 17 số \({r_1},{r_2},...,{r_{17}}\) tồn tại năm số bằng nhau, chẳng hạn: \({r_1} = {r_2} = {r_3} = {r_4} = {r_5}\)

Thì ta có \({a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + {a_5}\) chia hết cho 5.

Nếu trong 17 số \({r_1},{r_2},...,{r_{17}}\) không có năm số nào bằng nhau, tức là tối đa 4 số bằng nhau, chẳng hạn có 4 nhóm 4 số bằng nhau, như vậy 17 số dư được phân thành 4 lớp mà mỗi lớp có 4 phần tử và 1 lớp có 1 phần tử với các phần tử đại diện là 0;1;2;3;4. Lúc đó lấy trong mỗi lớp 1 số sẽ được năm số có giá trị đôi một khác nhau. Chẳng hạn \({r_1} \ne {r_2} \ne {r_3} \ne {r_4} \ne {r_5}\)và \({r_1} + {r_2} + {r_3} + {r_4} + {r_5} = 10\) nên \({a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + {a_5}\) chia hết cho 5.