Cho các số thực \(x,y,z,t\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + {z^2} + {t^2} = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A = xy + xz + xt + yz + yt + 3zt\).

Với mọi số thực \(\alpha > 0\), ta có

\(2\alpha A = 2\alpha xy + 2\alpha xz + 2\alpha xt + 2\alpha yz + 2\alpha yt + 2\alpha 3zt\)

\( \Leftrightarrow 2\alpha A = \alpha \left( {2xy} \right) + 2x\left( {\alpha z} \right) + 2x\left( {\alpha t} \right) + 2y\left( {\alpha z} \right) + 2y\left( {\alpha t} \right) + \left( {2zt} \right)\left( {3\alpha } \right)\)

\( \Leftrightarrow 2\alpha A \le \alpha \left( {{x^2} + {y^2}} \right) + {x^2} + {\left( {\alpha z} \right)^2} + {x^2} + {\left( {\alpha t} \right)^2} + {y^2} + {\left( {\alpha z} \right)^2}\)\( + {y^2} + {\left( {\alpha t} \right)^2} + \left( {{z^2} + {t^2}} \right)\left( {3\alpha } \right)\)

\( \Leftrightarrow 2\alpha A \le \left( {\alpha + 2} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \left( {2{\alpha ^2} + 3\alpha } \right)\left( {{z^2} + {t^2}} \right)\)

Do biểu thức trên đúng với mọi số thực \(\alpha > 0\) nên ta chọn \(\alpha = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2} \Rightarrow \alpha + 2 = 2{\alpha ^2} + 3\alpha = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\)

Khi đó \(2\alpha A \le \left( {\alpha + 2} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \left( {2{\alpha ^2} + 3\alpha } \right)\left( {{z^2} + {t^2}} \right) = \left( {\alpha + 2} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} + {t^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow A \le \frac{{\alpha + 2}}{{2\alpha }} = \frac{{2 + \sqrt 5 }}{2}\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(A\) là \(\frac{{2 + \sqrt 5 }}{2}\) đạt được khi

\(\left\{ \begin{array}{l}x = y\\z = t\\x = \alpha z = \alpha t\\\alpha = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}\\{x^2} + {y^2} + {z^2} + {t^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\z = t\\x = \alpha z = \alpha t\\\alpha = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}\\{x^2} + {y^2} + {z^2} + {t^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{ }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = y = \sqrt {\frac{{5 - \sqrt 5 }}{{20}}} }\\{z = t = \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{{20}}} }\end{array}} \right.\\{\rm{ }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = y = - \sqrt {\frac{{5 - \sqrt 5 }}{{20}}} }\\{z = t = - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{{20}}} }\end{array}} \right.\end{array} \right.\)