Xếp \(5\) học sinh nam và \(2\) học sinh nữ vào một ghế dài

a) Có \(5040\) cách xếp ngẫu nhiên.

b) Có \(240\) cách xếp để học sinh cùng giới ngồi cạnh nhau.

c) Có \(240\) cách xếp để \(2\) học sinh nữ ngồi ở \(2\)đầu ghế.

d) Có \(3600\) cách xếp để \(2\) học sinh nữ không ngồi cạnh nhau.

Ta có: \({x^2} + (m - 2)x + 5m + 1 > 0\)\(,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0}\\{\Delta  < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 > 0}\\{{{\left( {m - 2} \right)}^2} - 4\left( {5m + 1} \right) < 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 24m < 0 \Leftrightarrow m \in \left( {0\,;\,24} \right)\).

Vậy có tất cả \(23\) giá trị thoả mãn.

a) Đúng: Số phần tử của không gian mẫu là \[n\left( \Omega  \right) = C_{20}^2 = 190\].

b) Đúng: Số phần tử của biến cố lấy được hai thẻ mang số lẻ là \[C_{10}^2 = 45\].

c) Sai: Chọn hai thẻ mang số chẵn \[C_{10}^2\].

Chọn hai thẻ mang số lẻ \[C_{10}^2\].

Suy ra số phần tử của biến cố hai thẻ lấy ra có tổng chia hết cho \[2\] là \[C_{10}^2 + C_{10}^2 = 90\].

Xác suất của biến cố hai thẻ lấy ra có tổng chia hết cho \[2\] là \[\frac{{90}}{{190}} = \frac{9}{{19}}\].

d) Đúng: Chọn hai thẻ mang số chẵn \[C_{10}^2\].

Chọn một thẻ mang số chẵn và một thẻ mang số lẻ \[C_{10}^1.C_{10}^1\].

Suy ra số phần tử của biến cố hai thẻ lấy ra có tích chia hết cho \[2\] là \[C_{10}^2 + C_{10}^1.C_{10}^1 = 145\].

Xác suất của biến cố hai thẻ lấy ra có tích chia hết cho \[2\] là \[\frac{{145}}{{190}} = \frac{{29}}{{38}}\].