Từ một hộp chứa \(15\) quả cầu gồm \(10\) quả màu đỏ và \(5\) quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả. Xác suất để lấy được hai quả có màu khác nhau là

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Giả sử quỹ đạo của quả bóng là parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \(y\; = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Gắn hệ trục tọa độ tại các điểm \(x\, = \,0;\,x\, = 1;\,x\, = \,3,5\).\(\)

Theo giả thiết suy ra|C|D|0|2|5| parabol \(\left( P \right)\) đi qua các điểm \(A\left( {0;1} \right),\,B\left( {1;6} \right),\,C\left( {3,5;\,9,75} \right)\) ta có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}c\, = \,1\\a\, + b\, + c\, = 6\\\frac{{49}}{4}a + \frac{7}{2}b\, + c\, = \,9,75\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c\, = \,1\\b\, = \,6\\a\, = \, - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):\,y\, = \, - {x^2} + 6x\, + 1\).

Ta có \(y\, = \, - {x^2} + 6x + 1\, = \, - {\left( {x - 3} \right)^2} + 10 \le \,10\).

Suy ra độ cao nhất mà quả bóng đạt được là \(10m\).

Ta có: \({x^2} + (m - 2)x + 5m + 1 > 0\)\(,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0}\\{\Delta  < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 > 0}\\{{{\left( {m - 2} \right)}^2} - 4\left( {5m + 1} \right) < 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 24m < 0 \Leftrightarrow m \in \left( {0\,;\,24} \right)\).

Vậy có tất cả \(23\) giá trị thoả mãn.