Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện \(a + b + c = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{{ab}}{{\sqrt {c + ab} }} + \frac{{bc}}{{\sqrt {a + bc} }} + \frac{{ca}}{{\sqrt {b + ca} }}.\)

Trong tháng 4 năm 2023, hai hộ gia đình bác An và bác Bình dùng hết tổng cộng 500 nghìn đồng tiền điện. Sang tháng 5 năm 2023, do tăng cường thực hiện việc sử dụng điện an toàn, tiết kiệm và hiệu quả; nhà bác An giảm được 15% tiền điện và nhà bác Bình giảm được 10% tiền điện; kết quả là cả hai hộ gia đình tiết kiệm được tổng cộng 65 nghìn đồng tiền điện so với tháng 4 năm 2023. Hỏi trong tháng 4 năm 2023, mỗi hộ gia đình dùng hết bao nhiêu đồng tiền điện?

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và một điểm \(S\) nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến \(SA,\,\,SB\) với đường tròn (\(A,\,\,B\) là các tiếp điểm). Một đường thẳng đi qua \(S\) (không đi qua tâm \(O\)) cắt đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) tại hai điểm \(M\) và \(N\) với \(M\) nằm giữa \(S\) và \(N.\)

1. Chứng minh tứ giác \(SAOB\) nội tiếp.

2. Chứng minh \(S{B^2} = SM.\,\,SN.\)

3. Cho \(SO = R\sqrt 5 \) và \(MN = R\sqrt 2 \). Gọi \(E\) là trung điểm \(MN\). Tính độ dài đoạn thẳng \(OE\) và diện tích tam giác \(SOM\) theo \(R.\)

4. Tiếp tuyến tại \(M\) của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) cắt \(SA,\,\,SB\) lần lượt tại \(P,\,\,Q.\) Gọi giao điểm của \(OQ,\,\,OP\) với \(AB\) lần lượt là \(I\) và \(H\). Chứng minh ba đường thẳng \(OM,\,\,QH,\,\,PI\) đồng quy.

Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} - 1} \right)\) (với \(x \ge 0,x \ne 1\)).

1. Rút gọn biểu thức \(P.\)

2. Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(P\) nhận giá trị nguyên.

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho parabol \((P)\,\)có phương trình \(y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình \[y = 2mx - {m^2} - m - 2\] (với \(m\) là tham số).

1. Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc \(\left( P \right)\) biết điểm \(M\) có hoành độ bằng \( - 3.\)

2. Tìm điều kiện của \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt. Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),\,\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là hai giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và parabol \(\left( P \right),\) xác định \(m\) để \[{x_1}{y_2} + {x_2}{y_1} = 2{m^3} + 6.\]

1. Giải phương trình \({x^2} - 4x + 2\sqrt 3  = 0.\)

2. Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2\sqrt {x - 1}  + \frac{1}{y} = 4\\\sqrt {x - 1}  - \frac{1}{y} =  - 1\end{array} \right..\]