(3,5 điểm)

1. Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) \[\frac{{x + 1}}{{x - 3}} - \frac{{x + 3}}{{x - 1}} = \frac{{8x - 5}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}\].

Hướng dẫn giải

– Gọi \(x\) là số lần giảm giá \(10\,\,000\) đồng \(\left( {x \in \mathbb{N},\,\,0 \le x < 20} \right).\)

Giá bán mỗi sản phẩm sau khi giảm giá là: \(200 - 10x\) (nghìn đồng).

Số lượng sản phẩm bán ra sau khi giảm giá là: \(100 + 20x\) (chiếc).

Doanh thu \(T\left( x \right)\) của cửa hàng được tính bằng cách nhân giá bán mỗi sản phẩm với số lượng sản phẩm bán ra:

\(T\left( x \right) = \left( {200 - 10x} \right)\left( {100 + 20x} \right)\)

        \( = 200.\left( {100 + 20x} \right) - 10x\left( {100 + 20x} \right)\)

       \( = 20\,\,000 + 4\,\,000x - 1\,\,000x - 200{x^2}\)

       \( = 20\,\,000 + 3\,\,000x - 200{x^2}\)

      \( = - 200\left( {{x^2} - 15x + 7,{5^2}} \right) + 31\,\,250\)

      \( = - 200{\left( {x - 7,5} \right)^2} + 31\,\,250\) (nghìn đồng).

Nhận thấy \( - 200{\left( {x - 7,5} \right)^2} + 31\,\,250 \le 31\,\,250\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x - 7,5 = 0\) khi \(x = 7,5\).

Do \(x\) phải là số nguyên dương nên \(x = 7,5\) không thỏa mãn.

– Ta thấy rằng \(T\left( x \right) = - 200{\left( {x - 7,5} \right)^2} + 31\,\,250\) lớn nhất khi \({\left( {x - 7,5} \right)^2}\) nhỏ nhất.

Do giá trị của \(T\left( x \right)\) phụ thuộc \(x - 7,5\) và \(x\) nguyên nên ta xét các trường hợp sau:

⦁ Với \(x - 7,5 > 0\) hay \(x > 7,5\)

Mà \(x\) nguyên dương và \({\left( {x - 7,5} \right)^2}\) nhỏ nhất, nên ta lấy giá trị \(x = 8.\)

Khi đó, \(T\left( 8 \right) = 31\,\,200\) (nghìn đồng).

⦁ Với \(x - 7,5 < 0\) hay \(x < 7,5\)

Mà \(x\) nguyên dương và \({\left( {x - 7,5} \right)^2}\) nhỏ nhất, nên ta lấy giá trị \(x = 7.\)

Khi đó, \(T\left( 7 \right) = 31\,\,200\) (nghìn đồng).

Nhận thấy cả hai giá trị \(x = 7,\,\,x = 8\) đều cho doanh thu \(T = 31\,\,200\) (nghìn đồng) hay \(T = 31\,\,200\,\,000\) đồng. Do đó, cửa hàng nên giảm giá \(70\,\,000\) đồng hoặc \(80\,\,000\) đồng để thu được doanh thu cao nhất.

a) ⦁ Xét biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}}\).

Ta có \(\sqrt x + 3 > 0\) với mọi \(x \ge 0\) nên điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x \ge 0.\)

⦁ Xét biểu thức \(B = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{7 - \sqrt x }}{{x - 1}}\).

Ta có \(\sqrt x + 1 > 0\) với mọi \(x \ge 0\) nên điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)