(3,5 điểm)

1. Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) \[\frac{{x + 1}}{{x - 3}} - \frac{{x + 3}}{{x - 1}} = \frac{{8x - 5}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}\].

b) \[\frac{{4x + 9}}{3} + \frac{1}{2} \ge \frac{{2x - 1}}{4}\]

   \[\frac{{4\left( {4x + 9} \right)}}{{12}} + \frac{6}{{12}} \ge \frac{{3\left( {2x - 1} \right)}}{{12}}\]

   \[4\left( {4x + 9} \right) + 6 \ge 3\left( {2x - 1} \right)\]

   \[16x + 36 + 6 \ge 6x - 3\]

   \[16x + 42 \ge 6x - 3\]

   \[16x - 6x \ge - 3 - 42\]

   \[10x \ge - 45\]

    \[x \ge - \frac{9}{2}.\]

Vậy bất phương trình có nghiệm là \[x \ge - \frac{9}{2}.\]

c) \(\sqrt {4x + 20} = 20\)    (ĐKXĐ: \(x \ge - 5)\)

 \(\sqrt {4\left( {x + 5} \right)} = 20\)

\(2\sqrt {x + 5} = 20\)

\(\sqrt {x + 5} = 10\)

\(x + 5 = 100\)

\(x = 95\) (thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho là \(x = 95\).

2. Gọi \[x,{\rm{ }}y\] (nghìn đồng) lần lượt là giá vé của mỗi giáo viên và mỗi học sinh khi chưa giảm giá \(\left( {x,y > 0} \right).\)

Tổng chi phí cho vé trải nghiệm khi chưa giảm là 48 250 000 đồng nên ta có

\(15x + 235y = 48\,\,250\) hay \(3x + 47y = 9\,\,650\)       (1)

Nhân dịp Lễ Giáng Sinh nên giá vé trải nghiệm được giảm 5% cho mỗi vé của giáo viên và 8% cho mỗi vé của học sinh nên ta có

\(15 \cdot 95\% x + 235 \cdot 92\% y = 44\,\,498\) hay \(14,25x + 216,2y = 44\,\,498\)  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 47y = 9\,\,650\\14,25x + 216,2y = 44\,\,498\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 240\\y = 190\end{array} \right.\) (thoả điều kiện)

Vậy giá vé của mỗi giáo viên và mỗi học sinh khi chưa giảm giá lần lượt là 240 nghìn đồng và 190 nghìn đồng.

3. a) – Hình tam giác có kích thước ba cạnh lần lượt là \(x + 2\,;\,\,x + 4\,;\,\,x + 5\) (đvđd).

Khi đó, chu vi hình tam giác là \(x + 2 + x + 4 + x + 5 = 3x + 11\) (đvđd).

– Hình chữ nhật có chiều dài \(x + 3\) (đvđd) và chiều rộng \(x + 1\) (đvđd).

Khi đó, chu vi hình chữ nhật là \[2\left( {x + 3 + x + 1} \right) = 4x + 8\] (đvđd).

Vì chu vi của hình tam giác luôn lớn hơn chu vi của hình chữ nhật nên ta có \(3x + 11 > 4x + 8\).

Vậy bất phương trình cần tìm là: \(3x + 11 > 4x + 8\).

b) Giải bất phương trình:

\(3x + 11 > 4x + 8\)

\(4x - 3x < 11 - 8\)

\(x < 3.\)

Mà \(x\) là giá trị nguyên lớn nhất có thể nên \(x = 2.\)