Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{3x - 1}}{{x + 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến của\(\left( C \right)\) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(d:y = 7x + 3\).

Hướng dẫn giải

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

\[f'\left( x \right) = \frac{7}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\].

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm \(\left( {{x_0} \ne  - 2} \right)\).

Theo giả thuyết, ta có: \(f'\left( {{x_0}} \right) = 7\)\( \Leftrightarrow {\left( {{x_0} + 2} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} =  - 1\\{x_0} =  - 3\end{array} \right.\).

*TH1: \({x_0} =  - 1\)\( \Rightarrow {y_0} =  - 4\).

   Khi đó phương trình tiếp tuyến là: \(y = 7\left( {x + 1} \right) - 4 = 7x + 3\) (loại).

*TH2: \({x_0} =  - 3\)\( \Rightarrow {y_0} = 10\).

  Khi đó phương trình tiếp tuyến là: \(y = 7\left( {x + 3} \right) + 10 = 7x + 31\).