Trong hệ thống GPS, người ta coi Trái Đất là đường tròn tâm \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) bán kính \(R = 1\) trên mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], để xác định vị trí một người \(I\) sống trên Trái Đất, hai vệ tinh \(M\) và \(N\) di chuyển đến các điểm có tọa độ lần lượt là \(\left( {1;3} \right)\) và \(\left( { - 2;5} \right)\), vệ tinh \(M\) đo được khoảng cách giữa nó và người đó là 3, vệ tinh \(N\) đo được khoảng cách giữa nó và người đó là \(\sqrt {34} \). Hãy cho biết, tại hai vị trí \(M\) và \(N\) có xác định được tọa độ của người \(I\) qua hệ thống GPS hay không ? Nếu có, tọa độ đó là bao nhiêu ?

Bởi vì người \(I\) sống trên Trái Đất nên điểm \(I\) thuộc đường tròn tâm \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) bán kính \(R = 1\). Phương trình đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) là: \({x^2} + {y^2} = 1\).

Khoảng cách \(IM = 3\); \(IN = \sqrt {34} \).

Gọi đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) là đường tròn tâm \(M\) bán kính \(IM\), ta có phương trình đường tròn: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 9\).

Gọi đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) là đường tròn tâm \(N\) bán kính \(IN\), ta có phương trình đường tròn: \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 34\).

Điểm \(I\) thuộc cả ba đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), \(\left( {{C_1}} \right)\), \(\left( {{C_2}} \right)\) nên ta có tọa độ của \(I\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 1\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 9\\{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 34\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\).

Vì hệ có nghiệm nên có thể xác định tọa độ của người \(I\) trên hệ thống GPS là \(\left( {1;0} \right)\).