Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Gọi \(\alpha \) là góc nhị diện \(\left[ {A,B'C',A'} \right]\). Tính giá trị của \(\tan \alpha \).

Ta giả sử các cạnh và đỉnh của kim tự tháp như hình vẽ.

H là tâm của đáy, I là trung điểm của BC.

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(262{\rm{m}}\) nên \(AC = 262\sqrt 2  \Rightarrow HC = 131\sqrt 2 \).

Xét \(\Delta SHC\) vuông tại \(H,\) có

\(SH = \sqrt {S{C^2} - H{C^2}}  = \sqrt {{{230}^2} - {{(131\sqrt 2 )}^2}}  = \sqrt {18578}  \approx 136\)(m).

Vậy chiều cao của kim tự tháp là khoảng 136 mét.

Kẻ HJ vuông góc với SI, suy ra HJ là đoạn đường ngắn nhất.

Trong tam giác SHI vuông tại H, HJ là đường cao, ta có: \(\frac{1}{{H{J^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{18578}} + \frac{1}{{17161}} = \frac{{35739}}{{18578.17161}}\)

\( \Rightarrow H{J^2} = \frac{{18578.17161}}{{35739}} \Rightarrow HJ \approx 94\) (m)

 \( \Rightarrow IJ = \sqrt {H{I^2} - H{J^2}}  = \sqrt {{{131}^2} - {{94}^2}}  \approx 91\) (m).

Vậy vị trí để đào con đường đến kho báu sao cho đoạn đường ngắn nhất là tại điểm J nằm trên trung tuyến của mặt bên, cách cạnh đáy kim tự tháp khoảng 91 mét.