Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\), \(AB = a\), \(AC = a\sqrt 3 \), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SA = 2a\). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng

Hạ \(AD \bot BC\) tại \(D\) mà \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\). Suy ra \(BC \bot \left( {SAD} \right)\).

Hạ \(AE \bot SD\) tại \(E\)(1).

Vì \(BC \bot \left( {SAD} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot AE\) (2).

Từ (1) và (2), suy ra \(AE \bot \left( {SBC} \right)\) hay \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AE\).

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(\frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\).

Xét \(\Delta SAD\) vuông tại A có \(\frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}}\)\( = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}}\).

Do đó \(\frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{{19}}{{12{a^2}}} \Rightarrow AE = \frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}\).