Tìm nghiệm nguyên của phương trình \({(x + y)^2} + 2{y^2}\left( {x + 1} \right) + {(y + 2)^2} - 9 = 0\).

Đặt: \(\frac{{2a}}{b} = \frac{{3b}}{c} = \frac{c}{{6a}} = t \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a = bt}\\{b = \frac{c}{3}t = 2a{t^2} \Leftrightarrow 2a = 2a{t^3} \Leftrightarrow t = 1.}\\{c = 6at}\end{array}} \right.\)

Suy ra: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 2a}\\{c = 6a}\end{array}} \right.\).

\(P = \frac{{4ac - cb}}{{bc + 2ab}} = \frac{{4a.6a - 6a.2a}}{{2a.6a + 2a.2a}} = \frac{{12}}{{16}} = \frac{3}{4}\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right):y = 2{x^2}\) và \(\left( d \right):y = \left( {7 - m} \right)x + 3m - 3\) là: \(2{x^2} = \left( {7 - m} \right)x + 3m - 3 \Leftrightarrow 2{x^2} - \left( {7 - m} \right)x + 3 - 3m = 0\)

\({\rm{\Delta }} = {\left( {7 - m} \right)^2} - 4 \cdot 2 \cdot \left( {3 - 3m} \right) = {m^2} - 14m + 49 - 24 + 24m\)

\( = {m^2} + 10m + 25 = {\left( {m + 5} \right)^2} \ge 0,\forall m \in \mathbb{R}\).

Để \(\left( P \right)\) cắt \(\left( d \right)\) tại hai điểm phân biệt thì \({\rm{\Delta }} > 0 \Leftrightarrow m \ne  - 5\).

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{7 - m - m - 5}}{4} = \frac{{ - 2m + 2}}{4} = \frac{{ - m + 1}}{2}\)

\({x_2} = \frac{{7 - m + m + 5}}{4} = \frac{{12}}{4} = 3\).

Yêu câu bài toán \( \Leftrightarrow \frac{{ - m + 1}}{2} < 4 \Leftrightarrow  - m + 1 < 8 \Leftrightarrow  - m\left\langle {7 \Leftrightarrow m} \right\rangle  - 7\).

Vậy tập các giá trị nguyên âm thoả yêu cầu bài toán của \(m\) là: \(\left\{ { - 6; - 4; - 3; - 2; - 1} \right\}\)