Cho parabol \(\left( P \right):y = 2{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {7 - m} \right)x + 3m - 3\). Tìm các giá trị nguyên âm của \(m\) để \(\left( P \right)\) cắt \(\left( d \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 4.

Đặt: \(\frac{{2a}}{b} = \frac{{3b}}{c} = \frac{c}{{6a}} = t \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a = bt}\\{b = \frac{c}{3}t = 2a{t^2} \Leftrightarrow 2a = 2a{t^3} \Leftrightarrow t = 1.}\\{c = 6at}\end{array}} \right.\)

Suy ra: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 2a}\\{c = 6a}\end{array}} \right.\).

\(P = \frac{{4ac - cb}}{{bc + 2ab}} = \frac{{4a.6a - 6a.2a}}{{2a.6a + 2a.2a}} = \frac{{12}}{{16}} = \frac{3}{4}\)

Ta có: \(a + b + c \ge 6\).

        \(M = \frac{1}{6}\left( {19a + 22b + 25c} \right) + 2\left( {\frac{5}{a} + \frac{6}{b} + \frac{7}{c}} \right) = \left( {\frac{{19}}{6}a + \frac{{10}}{a}} \right) + \left( {\frac{{22}}{6}b + \frac{{12}}{b}} \right) + \left( {\frac{{25}}{6}c + \frac{{14}}{c}} \right)\)

Xét \(k,m,n > 0:ka + \frac{{10}}{a} \ge 2\sqrt {10k} ;mb + \frac{{12}}{b} \ge 2\sqrt {12m} ;nc + \frac{{14}}{c} \ge 2\sqrt {14n} \)

\(a = 2 \Rightarrow 2k + 5 \ge 2\sqrt {10k} \)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow ka = \frac{{10}}{a} \Rightarrow 2k = 5 \Leftrightarrow k = \frac{5}{2}\).

Tương tự ta tìm được: \(m = 3,n = \frac{7}{2}\).

Do đó: \(M = \left( {\frac{5}{2}a + \frac{{10}}{a}} \right) + \left( {3b + \frac{{12}}{b}} \right) + \left( {\frac{7}{2}c + \frac{{14}}{c}} \right) + \frac{2}{3}a + \frac{2}{3}b + \frac{2}{3}c\)

\( \Rightarrow M \ge 2\sqrt {25}  + 2\sqrt {36}  + 2\sqrt {49}  + \frac{2}{3} \cdot 6 = 40\).

Dấu bằng xảy ra khi \(a = b = c = 2\).

Vậy \({M_{Min}} = 40\) khi \(a = b = c = 2\).