III. Lời giải chi tiết tự luận

 (1 điểm) Cho tứ diện \(ABCD\) có tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), tam giác \(BCD\) cân tại \(D\). Gọi \(I\) là trung điểm cạnh \(BC\).

a) Chứng minh rằng \(BC \bot \left( {AID} \right)\).

b) Gọi \(AH\) là đường cao của tam giác \(AID\). Chứng minh rằng \(AH \bot BD\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).

Do đó, góc giữa \(SC\) với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) là \(\widehat {CSB}\).

Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) có \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} = a\sqrt 3 \).

Ta có \[BC = AD = a\].

Tam giác \(SBC\) vuông tại \(B\) có \(\tan \widehat {CSB} = \frac{{BC}}{{SB}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\). Suy ra \(\widehat {CSB} = 30^\circ \).

Đáp án đúng là: A

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên ta có:

+) \(ABCD\) là hình vuông, suy ra \(DC \bot BC\).

+) \(BC \bot \left( {DCC'D'} \right)\), suy ra \(BC \bot D'C\).

Từ đó suy ra, góc \(DCD'\) là một góc phẳng của góc nhị diện \(\left( {D,BC,D'} \right)\).

Vì \(DCC'D'\) là hình vuông nên \(\widehat {DCD'} = 45^\circ \).

Vậy góc nhị diện \(\left( {D,BC,D'} \right)\) có số đo bằng \(45^\circ \).