Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?

i) Hình hộp đứng có đáy là hình vuông là hình lập phương.

ii) Hình hộp chữ nhật có tất cả các mặt là hình chữ nhật.

iii) Hình lăng trụ đứng có các cạnh bên vuông góc với đáy.

iv) Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau là hình lập phương.

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SA\,\,\,\,\,\,\left( {{\rm{v\`i }}SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\CD \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\).

b) Gọi \(O = AC \cap BD.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CO \bot BD\\SO \bot BD\,\,\,\,\left( {{\rm{v\`i }}\,\,\,SB = SD\,} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {S,\,\,BD,\,\,C} \right] = \widehat {SOC}\).

\(\Delta SOA\) vuông tại \(A:\) \(AO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = SA \Rightarrow \)\(\widehat {SOA} = 45^\circ \Rightarrow \widehat {SOC} = 135^\circ \).

Vậy số đo của góc nhị diện \(\left[ {S,\,\,BD,\,\,C} \right]\) bằng \(135^\circ .\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AD\) nên suy ra \(SI \bot \left( {ABCD} \right)\).

Kẻ \[Ax\parallel BD\].

 Do đó \[d\left( {BD,SA} \right) = d\left( {BD,\left( {SAx} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {SAx} \right)} \right) = 2d\left( {I,\left( {SAx} \right)} \right)\].

Kẻ \[IE \bot Ax\] tại \[E\], kẻ \[IK \bot SE\] tại \[K\]. Khi đó \[d\left( {I,\left( {SAx} \right)} \right) = IK\].

Gọi \[F\] là hình chiếu của \[I\] trên \[BD\], ta có: \[IE = IF = \frac{{AO}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\].

Tam giác vuông \[SIE\], có: \[IK = \frac{{SI.IE}}{{\sqrt {S{I^2} + I{E^2}} }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\].

Vậy \[d\left( {BD,SA} \right) = 2IK = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\].