Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật \(ABCD\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách giữa \(SA\) và \(CD\) là đoạn nào trong các đoạn thẳng sau:

a) Ta có \({4^x} - {2^{x + 2}} + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - 4 \cdot {2^x} + 3 = 0\).

Đặt \(t = {2^x},t > 0\). Phương trình trở thành \({t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = {\log _2}3\end{array} \right.\).

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là \(S = \left\{ {0;\,\,{{\log }_2}3} \right\}\).

b) Điều kiện xác định: \[5 - {2^x} > 0 \Leftrightarrow x < {\log _2}5\].

Ta có \({\log _2}\left( {5 - {2^x}} \right) = 2 - x \Leftrightarrow 5 - {2^x} = {2^{2 - x}} \Leftrightarrow 5 - {2^x} = \frac{4}{{{2^x}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\).

Đặt \[t = {2^x}\] (\[t > 0\]).

Khi đó phương trình \((1)\) trở thành \(5 - t = \frac{4}{t} \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 4\end{array} \right.\).

+) Với \[t = 1\] ta có \[{2^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\].

+) Với \[t = 4\] ta có \[{2^x} = 4 \Leftrightarrow x = 2\].

Do vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thực \({x_1} = 0\) và \({x_2} = 2\).

Khi đó \(P = {x_1} + {x_2} + {x_1} \cdot {x_2} = 0 + 2 + 0 \cdot 2 = 2\).

a)

Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \[BD \bot SA\], lại có \(ABCD\) là hình vuông nên \[BD \bot AC\].

Từ đó suuy ra \[BD \bot \left( {SAC} \right)\].

Ta chứng minh được \[IK\] là đường trung bình của tam giác \[BCD\] nên \[IK{\rm{//}}BD\].

Do đó, \[IK \bot \left( {SAC} \right)\].

b)

Ta có \[\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\], \[AO \bot BD\], \[BD \bot SA \Rightarrow SO \bot BD\].

Vậy góc giữa 2 mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] là \[\widehat {AOS}\] .

Ta có \(AC = 2a\sqrt 2 \Rightarrow AO = \frac{{AC}}{2} = a\sqrt 2 \).

Vì tam giác \[SAO\] vuông tại \[A\] \[ \Rightarrow \tan \widehat {AOS} = \frac{{SA}}{{AO}} = 1 \Rightarrow \widehat {AOS} = 45^\circ \].

Vậy góc giữa 2 mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] bằng \[45^\circ \].